De uno a otro

Si es que... Salgo del problema del triángulo y me meto en otro que también intervienen estas formas geométricas.

Seguro que has visto alguna vez el típico programa de televisión y te has topado con una pregunta que dice:

¿Cuantos triángulos ves en la foto?

Pues en ese puedo asegurar que hay 30, pero a mi no me vale esto de ir contando, por lo que un día comencé a pensar en si existe una manera de saber cuantos triángulos se pueden formar.


Anduve pensando pero solo encontré en como calcular varias cosas:

Si comenzamos a hacer triángulos, primero partimos de uno solo, pero luego podemos ir añadiendo niveles.

Antes de comenzar un par de aclaraciones:
Le llamaremos AX a el número del triángulo que lo identifica, este será su posición + 1.

Si el primer triángulo tiene 3 aristas, un triángulo en su interior y 3 vértice sería el numero AX 2, que es este:

Para saber los vértices se utiliza la sumatoria , los vértices se encuentran substituyendo n por el número de AX.

Para los triángulos que se forman en el interior se utiliza , es decir, la suma de los primeros números impares, para despejar n utilizaremos otra variable: AY.


Es sencilla, si AY es el primer triángulo, AY=1, si es el segundo, AY=2.


Ejemplo con el triángulo de más arriba (el del principio) tiene 16 triángulos interiores, porque AY= 4 (es el 4º triángulo que se puede formar), 1+3+5+7=16.



Para las aristas utilizaremos también AY.

Si AY= n entonces tiene 3·1 + 3·2 + 3·3 + 3·4 +... + 3· n aristas. ¿Sencillo verdad?



El problema viene al contar TODOS los posibles triángulos, da igual su medida mientras sea triángulo.

Continuaré insistiendo en esto hasta que pueda derrocar ese muro que protege la fórmula que me dirá cuantos se pueden formar...