Superficies que desorientan

Conocemos muchas superficies que nos resultan familiares y que son incluso fáciles de construir. Por ejemplo, el cilindro: basta tomar una hoja de papel y doblarla hasta pegar los dos lados opuestos. En esta superficie distinguimos obviamente dos caras, la interior y la exterior, y dos aristas curvilíneas (o circulares incluso, dependiendo de nuestra habilidad de pegado) que forman su borde. Si nos imaginamos corriendo por la cara externa del cilindro, como si de un rodillo gigante de gimnasio se tratase, no podríamos alcanzar la cara interna a no ser que cruzáramos por una de las aristas. Le propongo ahora, la construcción  de una nueva superficie que espero le sorprenda por sus curiosas propiedades. Tome un folio, corte una tira de papel de un tercio de su anchura aproximadamente y pegue los extremos de la tira una vez que previamente haya hecho un giro que retuerza la citada tira. Si no hace tal giro, tendríamos otra vez un cilindro; mas ahora debe quedarle una cinta o banda más o menos parecida a la de la figura, que se denomina cinta de Moebius en honor a su descubridor.

Para contar sus aristas curvilíneas, con un rotulador rojo vaya marcando el borde de la cinta hasta descubrir que... ¡sólo tiene una única arista! Si va señalando ahora con un rotulador azul el centro de una cara, finalmente descubrirá sorprendido que... ¡¡sólo tiene también una única cara!! Este tipo de superficies (en las que no podemos distinguir entre su cara externa y su cara interna) reciben el nombre de "no orientables" en topología, que es una rama de las matemáticas preocupada de estudiar esencialmente la forma de los objetos, aquellas propiedades que subyacen a diferentes deformaciones de los mismos, sin pegar ni cortar, como si estuviesen construidos de goma perfectamente elástica.
Para terminar, le propongo que corte con unas tijeras su cinta de Moebius por la línea azul intermedia. Intente imaginar previamente el resultado que espero le vuelva a sorprender. Sólo una pista: vamos a cortar, con lo que cambiaremos la topología, la forma de nuestra superficie, que es lo que esencialmente nos debe interesar.