sábado, 4 de diciembre de 2010

El teorema de Borsuk-Ulam

En La vuelta al mundo en 80 días el protagonista Phileas Fogg descubre sorprendido en el último momento que ha regresado a Londres un día antes de lo que pensaba, ganando de esta forma la apuesta que le había llevado a dar la vuelta al mundo. Un desfase como el relatado por Julio Verne se produce si viajamos siempre en dirección este; y, por tanto, aumentando una hora en nuestro reloj al atravesar cada uso horario, pero olvidamos descontar un día al cruzar la línea internacional de cambio de fecha situada en el meridiano 180 grados (o antimeridiano de Greenwich) La presencia de esta línea resulta bastante incómoda y por eso se ha colocado en mitad del Pacífico, donde afecta a la menor población posible. Vamos a explicar por qué la presencia de esta línea no puede ser evitada.
Desde un punto de vista matemático, asignar una hora a cada longitud de la superficie terrestre es una función de la circunferencia (el ecuador) en la recta real (el tiempo). Además, queremos asignar horas distintas a diferentes longitudes y sería también deseable que la asignación fuera continua (que a longitudes cercanas se correspondiese horas próximas) Sin embargo, no es posible cumplir todos estos requisitos, puesto que un célebre postulado de topología, el teorema de Borsuk-Ulam, afirma que toda función continua de la circunferencia en la recta asigna necesariamente el mismo valor a un par de puntos antipodales. Por tanto, si queremos asignar horas distintas a diferentes longitudes, no nos queda más remedio que introducir una discontinuidad (la línea de cambio de fecha)

El teorema de Borsuk-Ulam fue conjeturado por el matemático polaco S. Ulam (uno de los científicos que participó en la construcción de la bomba atómica en Los Álamos) y demostrado por su compatriota F. Borsuk. El teorema es válido también en dimensión mayor que uno y sus aplicaciones son muy variadas. Por ejemplo, nos permite afirmar que en cada instante existen dos puntos antipodales en la superficie terrestre que tienen la misma temperatura y presión atmosférica.
Otra aplicación sorprendente (que algunos atribuyen a McDonald) nos dice que un sandwich mixto, relleno de jamón y queso de manera irregular, siempre puede dividirse con un solo corte de forma que la cantidad de pan, queso y jamón en cada trozo sea exactamente la misma.

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